江泽民同志在十六大报告中指出：创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达不竭的动力。所以创新教育就是深化教育改革的最大主题，而创造力、创新精神的培养是中学教学的主要任务。普通高中《数学课程标准》中的课程目标之一是提高学生数学地提出、分析和解决问题的能力，这就是说，在中学数学教育中，让学生学习分析和解决问题，学会提问题可以说是对创造性思维的培养，从而也是创新意识和创造能力培养的一个非常重要的方面。因而问题应该是课堂的中心，是引领学生主动探究，体验数学发现和构建的重要方式。相应的问题教学法就是以问题为主线，在教师的引导下，通过学生独立思考、讨论、交流等形式对数学问题进行思考、探究、求解、延伸和发展的教学方法。这一方法完全符合新课程标准的理念，因而在高中数学新课程的教学中尤显重要。下面以苏教版的高中数学4（选修）—《矩阵与变换》中的第四节《逆变换与逆矩阵》为例，谈谈如何利用问题教学法引导学生进行数学探究活动。

问题1：（创设情境，导入新课）

引导学生分析：上述过程有两次变换：先 （走过去）后 （走回来），结果仍是自身，即寻找矩阵 ，使 。

师：下面我们来看具体的例子，寻找这样的矩阵（变换）。

例1、对于下列给出的变换矩阵 ，是否存在变换矩阵 ，使得连续进行两次变换（先 后 ）的结果与恒等变换的结果相同？

⑴以 轴为反射轴作反射变换；

⑵绕原点逆时针旋转 作旋转变换；

⑶横坐标不变，沿 轴将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；

⑷沿 轴方向，向 轴作投影变换；

⑸纵坐标 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且 的切变变换。

……（学生思考、交流）

师提出问题：针对本例题你能得到什么相关的结论？你又能提出什么有关的问题？

生1：我得出了这样的结论：有的变换能够“找到回家的路”，即存在变换矩阵 ，使得连续进行两次变换（先 后 ）的结果与恒等变换的结果相同；而有的则不能。

生2：我提出的问题是：对于那些能回到家的路的变换是否唯一，它们存在的条件是什么？

对生1的回答进行数学建构：

定义  对于二阶矩阵 ，若有 ，则称 是可逆的， 为 的逆矩阵， 也为 的逆矩阵。

对生2提出的问题引导学生对照例1的结果进行思考与探究。

⑴由例1知存在逆变换的也是唯一的，如何证明呢？回顾数学中唯一性命题的常用证法（反证法）。

⑵分析存在逆矩阵的特点以及从矩阵对应变换的实质（一一映射）的角度去分析，不难得出条件是对应的变换是一一映射，进而得出投影矩阵、零矩阵没有逆矩阵。再类比函数 存在反函数 的条件：对应法则 是一一映射。

问题2：如何求一个矩阵的逆矩阵呢？

例2、用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由。

⑴   ⑵   ⑶   ⑷

总结规律：对于简单的初等变换矩阵，可以从几何变换的角度来直接求逆矩阵。

例3、求矩阵 的逆矩阵。

对于此问题学生将遇到这样的困难：例2的解法：从几何角度很难直接求出逆矩阵，于是就要寻找新途径：回到定义去求，即用待定系数法求逆矩阵。

问题3：

二阶矩阵的乘法 表示连续实施两次几何变换，那么，连续进行两次几何变换的逆变换是什么呢？换句话说， 应当等于什么呢？

分析：从几何变换角度看，逆变换就是“回去的路”，所以是先进行后一次变换的逆变换即 ，再进行前一次变换的逆变换即 ，从而 。

数学建构：若二阶矩阵 均存在逆矩阵，则 也存在逆矩阵，且 。

例4、试从几何变换角度求解矩阵 的逆矩阵：

⑴ ，     ⑵ ，

问题4：

矩阵的乘法一般情况下不满足消去律，即由 不一定得出 ，那么在什么条件下有 呢？

引导学生分析如何消去矩阵 ？当 可逆时，在等式 两边同时左乘矩阵 就可得到 。

数学建构：已知 为二阶矩阵，且 ，若矩阵 存在逆矩阵，则 。

以上就是《逆矩阵》这一课时主要的教学过程，整堂课由四个大问题串联起来，逐步展开的，教学效果良好。在教学过程中不断地通过问题来激发学生的求知欲望，让学生独立思考、讨论、交流等形式来探求数学问题的解决，并能从这一过程中逐步领会到如何数学地提出问题，进而寻找问题解决的策略。当然问题之间是要有轻重之分的，本节课中的问题2和3是教学的重点内容。此外运用问题教学法是一节课的最后一个环节回顾与反思中尤显得重要，通过回顾可以让学生对整堂课的脉络有一个清晰的认识，有助于知识的理解与接受；反思可以是拓展延伸的问题，为下节课作好铺设，使得教学过程有连续性和有效性，同时也调动了学生的积极性。

问题的提出和解决不仅仅是为了增进知识，而且更重要的是为了引发更多的问题，并进而激发创造。在初步解决已有问题的基础上引发更多、更广泛的新问题，这些新问题出现的意义，不仅在于它能够使教学活动无止境地进行下去，而且更重要的还在于它能最终把学生引上创造之路，进而成为创造者。问题教学法正是抓住了问题这一贯穿整个教学过程的主线，使得教学活动自始至终都围绕问题展开，问题不仅激发学生求知欲，而且还是学生理解和吸收知识的前提。知识只有围绕问题而展现出来，才能很好地为学生所理解和接受，进而才真正成为其内在精神世界的有机组成部分，所以应让问题来引领课堂，使得教学更加有效。

参考文献：张 阳  创造教育的问题教学法